peluang

Peluang

2.1     Ruang Sampel Percobaan Acak

Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Ruang sampel sering disebut ruang contoh. Ruang sampel sering dinotasikan dengan huruf S. Banyaknya anggota atau unsur dala ruang sampel dinotasikan denga n(S) atau n.  Titik sampel atau titik contoh adalah unsur-unsur yang terdapat dalam ruang sampel. Himpunan dari beberapa atau seluruh titik sampel disebut kejadian (event). Kejadian merupakan himpunan bagian dari suatu ruang sampel.

            Dalam menyusun ruang sampel percobaan dapat dilakukan dalam tiga cara, yaitu mendaftar, diagram pohon dan membuat tabel.

Contoh 1: pada pelemparan sebuah uang logam lima ratusan, hasil yang muncu adalah gambar burung garuda (G) atau angka (A), sehingga:

Ruang sampel : S = {1, 2, ,3 4, 5, 6}

Titik sampel : G dan A.

Hasil yang muncul dapat dinyatakan dalam tiga cara, yaitu:

a.       Diagram pohon

                                                                                G                               (G, G)

                                G

Awal                                                                        A                               (G, A)

                                                                                 G                               (A, G)

                                 A

                                                                                   A                               (A, A)

Ruang sampel              : S = { (G, G), (G, A), (A, G), (A, A) }.

Titik sampel                 : (G, G), (G, A), (A, G), DAN (A, A).

Banyak titik sampel    : n(S) = 4

b.      Tabel

Uang logam2 Uang logam 1	G	A
G	(G, G)	(G, A)
A	(A, G)	(A, A)

c.       Mendaftar

Hasil yang mungkin terjadi adalah (G, G), (G, A), (A, G), dan (A, A).
Ruang sampel              : S = (G, G), (G, A), (A, G), (A, A).
Titik sampel                 : (G, G), (G, A), (A, G), dan (A, A).
Banyak titik sampel    : n(S) = 4

2.2 Prinsip perkalian

Prinsip perkalian adalah jika operasi pertama dapat dilakukan dengan r cara dan setiap cara dilanjutkan dengan operasi kedua dengan s cara, maka kedua operasi itu secara bersamaan dilakukan dengan r x s cara.

Contoh 2: disekolah akan diadakan pemiliha ketua dan sekretaris OSIS. Terdapat 4 calon ketua dan 5 calon sekretaris. Berapa banyak kemungkinan memilih untuk menduduki jabatan ketua dan sekretaris OSIS?

Jawab :

Ada 4 cara untuk memilih ketua dari ke-4 calon ketua, dan 5 cara untuk memilih sekretaris dari ke-5 calon sekretaris tersebut.

5

4

ketua      sekretaris

           x               = 20 cara pemilihan

Jadi, secara bersama-sama peristiwa pemilihan itu dapat dipilih dalam 4 x 5 = 20 cara pemilihan.

2.3     PERMUTASI DAN KOBINASI

2.3.1    Permutasi

            Susuna berbeda yang dibentuk dari n unsur yang diambil baik secara keseluruhan atau sebagian disebut permutasian.

·         Permutasi n dari n unsur adalah himpunan n buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari n unsur, urutan diperhatikan dalam usur-unsur tiap kelompok tidak berulang(n, n).

n! = n(n-1)(n-2)(n-3)....(3)(2)(1); 1! =1 dan 0! =1

·         Permutasi k dari n unsur adalah himpunan n buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari k unsur dengan k < n, urutan diperhatikan dalam unsur-unsur dalam tiap kelompok tidak berulang; P(n, k)

P(n, k) =

2.3.2    Kombinasi

            Kombinasi k dari unsur n adalah himpunan n unsur yang tiap kelompok terdiri dari unsur dengan k < n, urutan tidak diperhatikan dan unsur-unsur dalam tiap kelompok tidak berulang; C(n, k)

C(n, k) =

2.3.3    Permutasi dengan Unsur Sama (Pengayaan)

            Banyak permutasi yang berbeda dari n buah unsur, di mana terdapat unsur-unsur yang sama n_1, n₂, n₃, ..., n_k dan unsur yang sama tidak dibedakan serta n₁ + n₂ + n₃+ ... + n_k = n adalah:

P(n; n₁^. n₂^. n₃^. ...^.n_k) =

2.4     PELUANG SUATU KEJADIAN

            Peluang suatu kejadian adalah perbandingan banyak unsur dalam kejadian itu dengan banyak unsur dalam ruang sampel S; dan peluangnya dinotasikan P(E) yang didefinisikan sebagai berikut.

P(E) =

Catatan:

·         Nilai peluang P bagi kejadian A adalah 0  P(A)  1

·         Apabila P(A) = 1, kejadian A pasti akan berlaku

·         Apabila P(A) = 0, kejadian A tidak belaku

Kisaran nilai peluang

            Jika S adalah suatu ruang contoh dari suatu percobaan, E adalah suatu kejadian dan P adalah suatu fungsi peluang, maka P(E) adalah peluang kejadian E yang bernilai nyata jika memenuhi tiga sifat sebagai berikut:

1.      0 P(E) untuk setiap E

2.      P(S) = 1

3.      P(E₁  E₂) = P(E₁) + P(E₂), untuk E₁ dan E₂ kejadian yang terpisah atau E₁  E₂ =

2.5     OPERASI TERHADAP KEJADIAN

A’

S

2.5.1    Komplemen Suatu Kejadian

A

                                    Jika A mempunyai a elemen dan S mempunyai n – a elemen,                                                maka P(A’) adalah peluang tidak terjadi A.

                                    Peluang A komplemen dapat dicari sebagai berikut.

                                    n(S) = n : n(A) = a

                                    n(A) + n(A’)    = n(S)

                                     +  =

                                    P(A) + P(A’) = 1

                                    Maka P(A’) = 1 – P(A)

2.5.2    Gabungan Kejadian (A  dan Irisan Kejadian (A  B)

·         Gabungan dua kejadian A dan B ditulis (A  adalah suatu kejadian yang unsurnya terdiri dari semua unsur ruang contoh termasuk unsur kejadian A atau termasuk unsur kejadian B atau termasuk keduanya.

·         Irisan dua kejadin A dan B ditulis (A  B) adalah suatu kejadian yan unsurnya terdiri dari semua unsur ruang contoh yang sekaligus termasuk unsur kejadian A dan kejaian B.

·         P(A) =

2.6     KEJADIAN MAJEMUK

2.6.1    Dua Kejadian Saling Eksklusif (saling Lepas)

Dua kejadian A dan B saling lepas jika dan hanya jika tidak ada unsur A yang juga merupakan unsur B, atau sebaliknya.

P(A  B) = P(A) + P(B)

Karena A  B =  maka n (A  B) = 0

P(A  B) =

                =

                =  +  –

                = P(A) + P(B) – 0

P(A  B) = P(A) + P(B)

2.6.2    Dua Kejadian Tidak Saling Eksklusif

P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

P(A atau B) = P(A  B) – P(A B)

2.6.3    Dua Kejadian Saling Bebas

            Jika A dan B adalah dua kejadian dengan syarat bahwa peluang berlakunya kejadian B tidak dipengaruhi oleh kejadian A berlaku atau tidak, maka A dan B disebut kejadian yang saling bebas.

P(A  . P(B)

2.7     KEJADIAN BERSYARAT

            Dua buah kejadian A dan B disebut kejadian bersyarat jika peluang berlakunya kejadian B dipengaruhi oleh kejadian A berlaku atau tidak, dinotasikan sebagai P(B/A).

P(B/A) =

·         P(M₁ / M₁) =

P(A) ^. P (B/A) = P(A  P(B/A) =